(1)因为,取AC的中点M,连接BM,A1M,可知三角形A1AC和三角形ABC都为正三角形,所以易证AC垂直平面A1MB,从而证得. (2) 当三棱柱的体积最大时,点到平面的距离最大,此时平面.由(1)知A1在底面的射影一定在直线BM上,并且三角形A1MB是等腰三角形, 所以当O与M重合时,点到平面的距离最大.然后在此基础上再求二面角的大小即可.
另解:当三棱柱的体积最大时,点到平面的距离最大,此时平面.以所在的直线分别为轴,建立直角坐标系,依题意得. 由得,设平面的一个法向量为 而,则,取 而平面,则平面的一个法向量为 于是, 故平面与平面所成锐角的余弦值为. |