已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.

已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.

题型:不详难度:来源:
已知a,b,c是互不相等的实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
答案
假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点
(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点),
由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b得△1=(2b)2-4ac≤0,
2=(2c)2-4ab≤0,
3=(2a)2-4bc≤0.
同向不等式求和得,
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0,
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,
∴a=b=c,这与题设a,b,c互不相等矛盾,
因此假设不成立,从而命题得证.
举一反三
设a,b,c∈(0,1),则a(1-b),b(1-c),c(1-a)(  )
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A.都不大于B.都不小于
C.至少有一个不大于D.至少有一个不小于
用反证法证明“a,b,c中至少有一个大于0”,下列假设正确的是(  )
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A.假设a,b,c都小于0
B.假设a,b,c都大于0
C.假设a,b,c中都不大于0
D.假设a,b,c中至多有一个大于0
用反证法证明命题:“己知a、b是自然数,若a+b≥3,则d、b中至少有一个不小于2”,提出的假设应该是(  )
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A.a、b中至少有二个不小于2
B.a、b中至少有一个小于2
C.a、b都小于2
D.a、b中至多有一个小于2
用反证法证明命题“设a,b∈R,|a|+|b|<1,a2-4b≥0那么x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1”时,应假设(  )
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A.方程x2+ax+b=0的两根的绝对值存在一个小于1
B.方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于等于1
C.方程x2+ax+b=0没有实数根
D.方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都不小于1
用反证法证明命题:“如果a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为______.