如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D。求证:ED2=EC·EB。

如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D。求证:ED2=EC·EB。

题型:江苏高考真题难度:来源:
如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D。求证:ED2=EC·EB。
答案
解:如图,因为AE是圆的切线
所以∠ABC=∠CAE.
又因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠BAD=∠CAD
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD,∠DAE=∠CAE+∠CAD
所以∠ADE=∠DAE,故EA=ED
因为EA是圆的切线,所以由切割线定理知,
EA2= EC·EB
而EA=ED
所以ED2=EC·EB。
举一反三
在直径是AB的半圆上有两点M,N,设AN与BM的交点是P。求证:AP·AN+BP·BM=AB2

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如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则线段CD的长为(    )。
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半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P,OD⊥BC,P为AD的中点,BC=6,则弦AD的长度为(    )。
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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别在边AB、CD上,设ED与AF相交于点G,若B、C、F、E四点共圆,求证:AG·GF= DG·CE。
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如图:若PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于点D,且PB=4,PD=3,则AD·DC=(    )。
题型:北京模拟题难度:| 查看答案
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