如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D。求证：ED2=EC·EB。

题型：江苏高考真题难度：来源：

如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D。求证：ED²=EC·EB。

答案

解：如图，因为AE是圆的切线
所以∠ABC=∠CAE.
又因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD=∠CAD
从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD
因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD
所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED
因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，
EA²= EC·EB
而EA=ED
所以ED²=EC·EB。