选修4-4：坐标系与参数方程．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθsin2θ，直线l的参数方程为x=tcosαy=1+tsinα（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ

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选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线C的极坐标方程为ρ=

4cosθ

sin2θ

，直线l的参数方程为

x=tcosα y=1+tsinα

（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

答案

（1）对于曲线C：ρ=

4cosθ

sin2θ

，可化为 ρsinθ=

4ρcosθ

sin θ

．
把互化公式代入，得 y=

4x

y

，即 y²=4x，为抛物线．
（可验证原点（0，0）也在曲线上）    （5分）
（2）根据条件直线l经过两定点（1，0）和（0，1），所以其方程为x+y=1．
由 

y2=4x x+y=1

，消去x并整理得 y²+4y-4=0．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-4，y₁•y₂=-4．
所以|AB|=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+1

•

(-4)2-4(-4)

=8．（10分）