已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:25x 24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5;(2)求9x2+9y2+z2的最小值.

已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证:25x 24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5;(2)求9x2+9y2+z2的最小值.

题型:不详难度:来源:
已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.
(1)求证:
25x 2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
≥5

(2)求9x2+9y2+z2的最小值.
答案
(1)根据柯西不等式,得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][
25x2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
]
≥(5x+4y+3z)2
因为5x+4y+3z=10,所以
25x2
4y+3z
+
16y2
3z+5x
+
9z2
5x+4y
102
20
=5

(2)根据均值不等式,得9x2+9y2+z2≥2


9x2?9y2+z2
=2?3x2+y2+z2

当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.
根据柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,
即  (x2+y2+z2)≥2,当且仅当
x
5
=
y
4
=
z
3
时,等号成立.
综上,9x2+9y2+z2≥2?32=18
举一反三
若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值点.
题型:不详难度:| 查看答案
已知x+5y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
函数y=3


x-2
+4


6-x
的最大值是______.
题型:汕头二模难度:| 查看答案
本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多作,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填入括号中.
(1)选修4一2:矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.
(Ⅰ)求矩阵M的特征值及相应的特征向量;
(Ⅱ)求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1
在M-1的作用下的新曲线的方程.
(2)选修4一4:坐标系与参数方程
已知直线C1





x=1+tcosα
y=tsinα
(t为参数),C2





x=cosθ
y=sinθ
(θ为参数).
(Ⅰ)当α=
π
3
时,求C1与C2的交点坐标;
(Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为A,P为OA中点,当α变化时,求P点的轨迹的参数方程.
(3)选修4一5:不等式选讲
已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.求


4a+1
+


4b+1
+


4c+1
的最大值.
题型:不详难度:| 查看答案
A=5


x-1
+


10-2x
,则A的最大值是(  )
A.6


3
B.2


10
C.2


7
D.2


5
题型:不详难度:| 查看答案
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