已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．（1）求证：25x 24y+3z+16y23z+5x+9z25x+4y≥5；（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

题型：不详难度：来源：

已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．
（1）求证：

25x 2

4y+3z

16y2

3z+5x

9z2

5x+4y

≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

答案

（1）根据柯西不等式，得[(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)][

25x2

4y+3z

16y2

3z+5x

9z2

5x+4y

]≥（5x+4y+3z）²
因为5x+4y+3z=10，所以

25x2

4y+3z

16y2

3z+5x

9z2

5x+4y

≥

102

=5．
（2）根据均值不等式，得9x2+9y2+z2≥2

9x2?9y2+z2

=2?3x2+y2+z2，
当且仅当x²=y²+z²时，等号成立．
根据柯西不等式，得（x²+y²+z²）（5²+4²+3²）≥（5x+4y+3z）²=100，
即（x²+y²+z²）≥2，当且仅当

时，等号成立．
综上，9x2+9y2+z2≥2?32=18．

举一反三

若2x+3y=1，求4x²+9y²的最小值，并求出最小值点．

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已知x+5y+3z=1，则x²+y²+z²的最小值为______．

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函数y=3

x-2

6-x

的最大值是______．

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本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线C1：

x=1+tcosα

y=tsinα

（t为参数），C2：

x=cosθ

y=sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求

4a+1

4b+1

4c+1

的最大值．

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A=5

x-1

10-2x

，则A的最大值是（　　）

A．6

B．2

C．2

D．2

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