(ⅰ)假设最小值,,2,3不是取自数表的不同列.则存在一列不含任何.不妨设,,2,3.由于数表中同一行中的任何两个元素都不等,于是,,2,3.另一方面,由于数表具有性质,在⑶中取,则存在某个使得.矛盾. (ⅱ)由抽届原理知 ,, 中至少有两个值取在同一列.不妨设 ,. 由前面的结论知数表的第一列一定含有某个,所以只能是.同样,第二列中也必含某个,,2.不妨设.于是,即是数表中的对角线上数字.
记,令集合 . 显然且1,2.因为,,,所以. 故.于是存在使得.显然,,2,3. 下面证明数表
具有性质. 从上面的选法可知,.这说明 ,. 又由满足性质.在⑶中取,推得,于是.下证对任意的,存在某个,2,3使得.假若不然,则,,3且.这与的最大性矛盾.因此,数表满足性质. 下证唯一性.设有使得数表
具有性质,不失一般性,我们假定
⑷
. 由于,及(ⅰ),有.又由(ⅰ)知:或者,或者. 如果成立,由数表具有性质,则 , ⑸, . 由数表满足性质,则对于至少存在一个使得.由及⑷和⑹式知,,.于是只能有.类似地,由满足性质及可推得.从而. |