如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆构成,其底端三点均匀地固定在半径为的圆上(圆在地面上),三点相异且共线,与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为,记用

如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆构成,其底端三点均匀地固定在半径为的圆上(圆在地面上),三点相异且共线,与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为,记用

题型:不详难度:来源:
如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆构成,其底端三点均匀地固定在半径为的圆上(圆在地面上),三点相异且共线,与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为,记用料总长为,设

(1)试将表示为的函数,并注明定义域;
(2)当的正弦值是多少时,用料最省?
答案
(1);(2)
解析

试题分析:(1)由已知三点相异且共线,与地面垂直,且三点均匀地固定在半径为的圆上,所以是全等的直角三角形,从而有,进而可得,再由点到地面的距离恰为;从而由可将L表示为的函数;其定义域由图形可知:,而当PH最短时角为最大,但由于三点相异,所以小于该最大值,从而求得其定义域;(2)用料最省,即L取得最小值;由(1)的函数利用导数方法来求使其取得最小值的的值:先求出L的导函数,再令其等于零求出对应的的值,再讨论函数的单调性就可确定的值.
试题解析:(1)因与地面垂直,且,则是全等的直角三角形,又圆的半径为3,
所以,                               3分
,所以,                        6分
若点重合,则,即,所以
从而.                                   7分
(2)由(1)知
所以,当时,,                             11分
,当时,;当时,
所以函数L在上单调递减,在上单调递增,                       15分
所以当,即时,L有最小值,此时用料最省.                     16分
举一反三
已知函数,(1)若的最小值为2,求值;(2)设函数有零点,求的最小值.
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关于函数y=-5x,下列说法正确的是(  )
A.y随x的增大而增大
B.不论x为何值,总有y>0
C.必经过二、四象限
D.图象必经过点(0,5)

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已知函数满足2+,对x≠0恒成立,在数列{an}、{bn}中,a1=1,b1=1,对任意x∈N+
(1)求函数解析式;
(2)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(3)若对任意实数,总存在自然数k,当n≥k时,恒成立,求k的最小值。
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已知函数f(x)=,那么f(1)+f(2)+=________.
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函数y=-sin x+2的最大值是 (       ).
A.2B.3C.4 D.5

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