试题分析:(1)根据函数单调性的定义进行证明即①设;②作差:;③因式分解到最简;④根据条件判定符号;⑤作出结论,经过这五步即可证明在单调递减,同理可证在是增函数,最后由奇函数的性质得出;在是减函数,在是增函数;(2)先将“对任意,总存在,使得成立”转化为“函数在区间的值域包含了在区间的值域”,分别根据函数的单调性求出这两个函数的值域,最后由集合的包含关系即可得到的取值范围. 试题解析:(1)证明:当时 ①设是区间上的任意两个实数,且,则
∵,∴, ∴,即 ∴在是减函数 4分 ②同理可证在是增函数 5分 综上所述得:当时, 在是减函数,在是增函数 6分 ∵函数是奇函数,根据奇函数图像的性质可得 当时,在是减函数,在是增函数 8分 (2)∵ () 8分 由(1)知:在单调递减,单调递增 ∴ , 10分 又∵在单调递减 ∴由题意知: 于是有:,解得 12分. |