试题分析:(Ⅰ)先求,利用辅助角公式,函数的性质求得;(Ⅱ)构造新函数,用导数法求解,需要对进行分类讨论;(Ⅲ)探索性问题,构造新函数,用导数法解题. 试题解析:(Ⅰ)由于, 所以. (2分) 当,即时,; 当,即时,. 所以的单调递增区间为, 单调递减区间为. (4分) (Ⅱ)令,要使总成立,只需时. 对求导得, 令,则,() 所以在上为增函数,所以. (6分) 对分类讨论: ① 当时,恒成立,所以在上为增函数, 所以,即恒成立; ② 当时,在上有实根,因为在上为增函数, 所以当时,,所以,不符合题意; ③ 当时,恒成立,所以在上为减函数,则,不符合题意. 综合①②③可得,所求的实数的取值范围是. (9分) (Ⅲ)存在正实数使得当时,不等式恒成立. 理由如下:令,要使在上恒成立,只需. (10分) 因为,且,, 所以存在正实数,使得, 当时,,在上单调递减,即当时,, 所以只需均满足:当时,恒成立. (14分) 注:因为,,所以的性质,恒成立问题. |