(Ⅰ) 当,,函数在内是增函数, ∴函数没有极值。 当时,令,得。 当变化时,与变化情况如下表: ∴当时,取得极大值。 综上,当时,没有极值; 当时,的极大值为,没有极小值。 (Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点,要证明 有伴随切线,只需证明存在点,使得 ,且点不在上。 ∵,即证存在,使得,即成立,且点不在上。 …………………8分 以下证明方程在内有解。… 记,则。 令, ∴, ∴在内是减函数,∴。 取,则,即。……9分 同理可证。∴。 ∴函数在内有零点。 即方程在内有解。又对于函数取,则 可知,即点Q不在上。 是增函数,∴的零点是唯一的, 即方程在内有唯一解。 综上,曲线上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。 (ⅱ)取曲线C:,则曲线的任意一条弦均有伴随切线。 证明如下: 设是曲线C上任意两点, 则, 又, 即曲线C:的任意一条弦均有伴随切线。 注:只要考生给出一条满足条件的曲线,并给出正确证明,均给满分。若只给曲 线,没有给出正确的证明,请酌情给分。 解法二: (Ⅰ)同解法一。 (Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点,要证明 有伴随切线,只需证明存在点,使得 ,且点不在上。 ∵,即证存在,使得, 即成立,且点不在上。…………… 8分 以下证明方程在内有解。 设。… 则。 记, ∴, ∴在内是增函数, ∴。 同理。。 ∴方程在内有解。又对于函数, ∵,, 可知,即点Q不在上。 又在内是增函数, ∴方程在内有唯一解。 综上,曲线上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。 (ⅱ)同解法一。 |