(1)因为对x1,x2∈[0,],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=, x∈[0,1] 又因为f(1)=f(+)=f()·f()=[f()]2 f()=f(+)=f()·f()=[f()]2 又f(1)=a>0 ∴f()=a, f()=a (2)证明:依题意设y=f(x)关于直线x=1对称,故f(x)=f(1+1-x), 即 f(x)=f(2-x),x∈R. 又由f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x),x∈R ∴f(-x)=f(2-x),x∈R. 将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2),这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期. (3)由(1)知f(x)≥0,x∈[0,1] ∵f()=f(n·)=f(+(n-1))=f()·f((n-1)·)=…… =f()·f()·……·f() =[f()]n=a ∴f()=a. 又∵f(x)的一个周期是2 ∴f(2n+)=f(), ∴an=f(2n+)=f()=a. 因此an=a ∴ |