任取x1>x2>0, f(x1)–f(x2)= ∵x1>x2>0,∴x1x2>0,x1–x2>0, ∴f(x1)–f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)解:∵≤2x在(0,+∞)上恒成立,且a>0, ∴a≥在(0,+∞)上恒成立, 令 (当且仅当2x=即x=时取等号), 要使a≥在(0,+∞)上恒成立,则a≥. 故a的取值范围是[,+∞). (3)解: 由(1)f(x)在定义域上是增函数. ∴m=f(m),n=f(n),即m2–m+1=0,n2–n+1=0 故方程x2–x+1=0有两个不相等的正根m,n,注意到m·n=1, 故只需要Δ=()2–4>0,由于a>0,则0<a<. |