设V是全体平面向量构成的集合,若映射f:V→R满足:对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf

设V是全体平面向量构成的集合,若映射f:V→R满足:对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf

题型:福建难度:来源:
设V是全体平面向量构成的集合,若映射f:V→R满足:对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b)则称映射f具有性质P.先给出如下映射:
①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V;
②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V;
③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V.
其中,具有性质P的映射的序号为______.(写出所有具有性质P的映射的序号)
答案


a
=(x1y1)


b
=(x2y2)
,则λ


a
+(1-λ)


b
=(λx1+(1-λ)x2,  λy1
+(1-λ)y2}
对于①,f[λ


a
+(1-λ)


b
]
=λx1+(1-λ)x2-λy1-(1-λ)y2=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2
λf(


a
)+(1-λ)f(


b
)
=λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)满足性质P
对于②f2(λa+(1-λb))=[λx1+(1-λ)x2]2+[λy1+(1-λ)y2],λf2(a)+(1-λ)f2(b)=λ(x12+y1)+(1-λ)(x22+y2
∴f2(λa+(1-λb))≠λf2(a)+(1-λ)f2(b),∴映射f2不具备性质P.
对于③f[λ


a
+(1-λ)


b
]
=λx1+(1-λ)x2+λy1+(1-λ)y2+1=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1
λf(


a
)+(1-λ)f(


b
)
=λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)═λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1
满足性质p
故答案为:①③
举一反三
下列四组函数中,表示相等函数的一组是(  )
A.f(x)=


x2
,g(x)=(


x
)2
B.f(x)=
x2-1
x-1
,g(x)=x+1
C.f(x)=


x+1


x-1
,g(x)=


x2-1
D.f(x)=|x|,g(x)=


x2
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已知函数f(x)满足:f(


2x-1
)=8x2-2x-1
,则f(x)=(  )
A.2x4+3x2B.2x4-3x2C.4x4+x2D.4x4-x2
题型:不详难度:| 查看答案
已知A={a,b,c},B={0,1,2},则满足条件f(a)+f(b)>f(c)的映射f:A→B有 ______个.
题型:不详难度:| 查看答案
f(x)=
x-1
x
,则方程f(4x)=x的根是(  )
A.
1
2
B.-
1
2
C.2D.-2
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函数f(x)满足f(x)•f(x+2)=13,若f(0)=2,则f(2010)=(  )
A.13B.2C.
13
2
D.
2
13
题型:不详难度:| 查看答案
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