(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。 (2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点 解:(1)由,得。 ∵1和是函数的两个极值点, ∴ ,,解得。 (2)∵ 由(1)得, , ∴,解得。 ∵当时,;当时,, ∴是的极值点。 ∵当或时,,∴ 不是的极值点。 ∴的极值点是-2。 (3)令,则。 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。 当时,∵, , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。 由(1)知。 ① 当时, ,于是是单调增函数,从而。 此时在无实根。 ② 当时.,于是是单调增函数。 又∵,,的图象不间断, ∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。 ③ 当时,,于是是单调减两数。 又∵, ,的图象不间断, ∴在(一1,1 )内有唯一实根。 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足。 现考虑函数的零点: ( i )当时,有两个根,满足。 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。 ( 11 )当时,有三个不同的根,满足。 而有三个不同的根,故有9 个零点。 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点 【考点定位】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的应用,考查较全面系统,要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解。本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想,属于中高档试题,难度中等偏上,考查知识比较综合,全方位考查分析问题和解决问题的能力,运算量比较大。 |