已知数列{f(n)}满足nf2(n)-(n-1)f2(n-1)+f(n)f(n-1)=0且f(n)>0(1)求{f(n)}的通项公式;(2)令an=31/f(n
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已知数列{f(n)}满足nf2(n)-(n-1)f2(n-1)+f(n)f(n-1)=0且f(n)>0(1)求{f(n)}的通项公式;(2)令an=31/f(n
题型:不详
难度:
来源:
已知数列{f(n)}满足nf
2
(n)-(n-1)f
2
(n-1)+f(n)f(n-1)=0且f(n)>0
(1)求{f(n)}的通项公式;
(2)令a
n
=3
1/f(n)
,b
n
=4/f(n)+1(n∈N
*
),若在数列{a
n
}的前100项中,任取一项a
n
,问a
n
同
时也在数列是的某项的概率为多少?为什么?
(3)若将(2)中的前100项推广到前n项(n∈N
*
),且记上述概率为P
n
,试猜测
lim
n→∞
P
n
(不必证明).
答案
(1)由已知(nf(n)-(n-1)f(n-1))(f(n)+f(n-1))=0且f(n)>0
∴nf(n)=(n-1)f(n-1),
∴nf(n)=(n-1)f(n-1)=…=1•f(1)=1∴f(n)=
1
n
(2)a
n
=3
n
,b
n
=4n+1,当n=2m,∴a
n
=9
m
=(8+1)
m
=…=8Q+1=4(2Q)+1∈{b
n
}
当n=2m+1,∴a
n
=3(8+1)
m
=…=4(6Q)+3∉{b
n
}∴在{a
n
}中前100项中,所求的概率
P=
50
100
=
1
2
(3)∵
P
n
=
1
2
n-1
2n
(n为偶数)
(n为奇数)
∴
lim
n→∞
P
n
=
1
2
举一反三
若
a
n
=
1
n
+2,(n<1000)
2
n
2
n
-1
,(n≥1000)
,则
lim
n→∞
a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知点O(0,0)、Q
0
(0,1)和点R
0
(3,1),记Q
0
R
0
的中点为P
1
,取Q
0
P
1
和P
1
R
0
中的一条,记其端点为Q
1
、R
1
,使之满足(|OQ
1
|-2)(|OR
1
|-2)<0,记Q
1
R
1
的中点为P
2
,取Q
1
P
2
和P
2
R
1
中的一条,记其端点为Q
2
、R
2
,使之满足(|OQ
2
|-2)(|OR
2
|-2)<0.依次下去,得到P
1
,P
2
,…,P
n
,…,则
lim
n→∞
|
Q
0
P
n
|
=______.
题型:上海
难度:
|
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设常数a>0,
(a
x
2
+
1
x
)
4
展开式中x
3
的系数为
3
2
,则
lim
n→∞
(a+
a
2
+…+
a
n
)
=______.
题型:安徽
难度:
|
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我们规定:对于任意实数A,若存在数列{a
n
}和实数x(x≠0),使得A=a
1
+a
2
x+a
3
x
2
+…+a
n
x
n-1
,则称数A可以表示成x进制形式,简记为:
A=
.
x~(
a
1
)(
a
2
)(
a
3
)…(
a
n-1
)(
a
n
)
.如:
A=
.
2~(-1)(3)(-2)(1)
,则表示A是一个2进制形式的数,且A=-1+3×2+(-2)×2
2
+1×2
3
=5.
(1)已知m=(1-2x)(1+3x
2
)(其中x≠0)),试将m表示成x进制的简记形式.
(2)若数列{a
n
}满足a
1
=2,
a
k+1
=
1
1-
a
k
,k∈
N
*
,
b
n
=
.
2~(
a
1
)(
a
2
)(
a
3
)…(
a
3n-2
)(
a
3n-1
)(
a
3n
)
(n∈N
*
).求证:
b
n
=
2
7
•
8
n
-
2
7
.
(3)若常数t满足t≠0且t>-1,
d
n
=
.
t~(
C
1n
)(
C
2n
)(
C
3n
)…(
C
n-1n
)(
C
nn
)
,求
lim
n→∞
d
n
d
n+1
.
题型:奉贤区一模
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的首项a
1
=1,公比为q(q>0),S
n
为{a
n
}的前n项和,则
lim
n→∞
S
n
S
n+1
=______.
题型:不详
难度:
|
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