已知数列{an}是无穷等比数列,其前n项和是Sn,若a2+a3=2,a3+a4=1,则limn→∞Sn的值为______.
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已知数列{an}是无穷等比数列,其前n项和是Sn,若a2+a3=2,a3+a4=1,则limn→∞Sn的值为______.
题型:崇明县二模
难度:
来源:
已知数列{a
n
}是无穷等比数列,其前n项和是S
n
,若a
2
+a
3
=2,a
3
+a
4
=1,则
lim
n→∞
S
n
的值为______.
答案
设等比数列{a
n
}的公比为q,∵a
2
+a
3
=2,a
3
+a
4
=1,
∴
a
1
q+
a
1
q
2
=2
a
1
q
2
+
a
1
q
3
=1
,解得
a
1
=
8
3
q=
1
2
,
∴
S
n
=
8
3
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
.
∵
lim
n→∞
(
1
2
)
n
=0
,
∴
lim
n→∞
S
n
=
8
3
1
2
=
16
3
.
故答案为
16
3
.
举一反三
已知函数f(x)满足
f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=
1
2
.
(1)当x∈N
+
时,求f(n)的表达式;
(2)设
a
n
=nf(n)
(n∈
N
+
)
,求证:a
1
+a
2
+…+a
n
<2;
(3)设
b
n
=
nf(n+1)
f(n)
&(n∈
N
+
),
S
n
=
b
1
+
b
2
+…+
b
n
,求
lim
n→∞
(
1
S
1
+
1
S
2
+…+
1
S
n
)
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设M
n
={(十进制)n位纯小数0.
.
a
1
a
2
…
a
n
|a
i
只取0或1(i=1,2,…,n-1),a
n
=1},T
n
是M
n
中元素的个数,S
n
是M
n
中所有元素的和,则
lim
n→∞
Sn
Tn
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知数列{f(n)}满足nf
2
(n)-(n-1)f
2
(n-1)+f(n)f(n-1)=0且f(n)>0
(1)求{f(n)}的通项公式;
(2)令a
n
=3
1/f(n)
,b
n
=4/f(n)+1(n∈N
*
),若在数列{a
n
}的前100项中,任取一项a
n
,问a
n
同
时也在数列是的某项的概率为多少?为什么?
(3)若将(2)中的前100项推广到前n项(n∈N
*
),且记上述概率为P
n
,试猜测
lim
n→∞
P
n
(不必证明).
题型:不详
难度:
|
查看答案
若
a
n
=
1
n
+2,(n<1000)
2
n
2
n
-1
,(n≥1000)
,则
lim
n→∞
a
n
=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知点O(0,0)、Q
0
(0,1)和点R
0
(3,1),记Q
0
R
0
的中点为P
1
,取Q
0
P
1
和P
1
R
0
中的一条,记其端点为Q
1
、R
1
,使之满足(|OQ
1
|-2)(|OR
1
|-2)<0,记Q
1
R
1
的中点为P
2
,取Q
1
P
2
和P
2
R
1
中的一条,记其端点为Q
2
、R
2
,使之满足(|OQ
2
|-2)(|OR
2
|-2)<0.依次下去,得到P
1
,P
2
,…,P
n
,…,则
lim
n→∞
|
Q
0
P
n
|
=______.
题型:上海
难度:
|
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