数列{an}满足:an+1=3an-3an2,n=1,2,3,…。(Ⅰ)若数列{an}为常数列,求a1的值;(Ⅱ)若a1=,求证:; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求
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数列{an}满足:an+1=3an-3an2,n=1,2,3,…。(Ⅰ)若数列{an}为常数列,求a1的值;(Ⅱ)若a1=,求证:; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求
题型:0110 月考题
难度:
来源:
数列{a
n
}满足:a
n+1
=3a
n
-3a
n
2
,n=1,2,3,…。
(Ⅰ)若数列{a
n
}为常数列,求a
1
的值;
(Ⅱ)若a
1
=
,求证:
;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求证:数列{a
2n
}单调递减。
答案
(Ⅰ)解:因为数列
为常数列,
所以
,
,
,
由n的任意性知,
或
。
(Ⅱ)证明:用数学归纳法证明
,
①当n=1时,
,符合上式;
②假设当n=k(k≥1)时,
,
因为
, 所以
,即
,
从而
,即
,
因为
,
所以,当n=k+1时,
成立,
由①,②知,
。
(Ⅲ)证明:因为
(n≥2),
所以只要证明
,
由(Ⅱ)知,
,
所以只要证明
,
即证明
,
令
,
,
所以函数f(x)在R上单调递增;
因为
,
所以,
,即
成立,
故
,所以数列
单调递减。
举一反三
已知S
k
表示数列{a
k
}的前k项和,且S
k
+S
k+1
=a
k+1
(k∈N*),那么此数列是
[ ]
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列
题型:同步题
难度:
|
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下列叙述正确的是
[ ]
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列
是递增数列
题型:同步题
难度:
|
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已知A
n
(a
n
,b
n
)(n∈N*)是曲线y=e
x
上的点,a
1
=a,S
n
是数列{a
n
}的前n项和,且满足:
,n=2,3,4,…
(Ⅰ)证明数列
是常数数列;
(Ⅱ)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{a
n
}是单调递增数列;
(Ⅲ)证明当a∈M时,弦A
n
A
n+1
(n∈N*)的斜率随n单调递增。
题型:湖南省高考真题
难度:
|
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设S
n
为数列{a
n
}的前n项和(n=1,2,3,……)。按如下方式定义数列 {a
n
}:a
1
=m(m∈N*),对任意k∈N*,k>1,设a
k
为满足0≤a
k
≤k-1的整数,且k整除S
k
,
(Ⅰ)当m=9时,试给出{a
n
}的前6项;
(Ⅱ)证明:k∈N*,有
;
(Ⅲ)证明:对任意的m,数列{a
n
} 必从某项起成为常数列。
题型:浙江省月考题
难度:
|
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已知下列数列:
(1)2 000,2 004,2 008,2 012;
(2)0,
;
(3)1,
;
(4)1,
;
(5)1,0, -1,…,sin
,…;
(6)3,3,3,3,3,3
其中,有穷数列是( ),无穷数列是( ),递增数列是( ),递减数列是( ),常数列是( ),摆动数列是( ),周期数列是( )。(将合理的序号填在横线上)
题型:同步题
难度:
|
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