(10分)设a,b均为正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
题型:不详难度:来源:
(10分)设a,b均为正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2. |
答案
略 |
解析
证明:法一:(分析法) 要证a3+b3>a2b+ab2成立, 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立. 又因为a+b>0,只需证a2-ab+b2>ab成立. 又需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立. 而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立,由此命题得证. 法二:(综合法) a≠b⇒a-b≠0⇒(a-b)2>0⇒a2-2ab+b2>0 ⇒a2-ab+b2>ab.(*) 而a,b均为正数,∴a+b>0, 由(*)式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b), ∴a3+b3>a2b+ab2. |
举一反三
(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲 已知,且、、是正数,求证:. |
(本题满分10分)已知,求证: |
(10分)已知,求证:。 |
(本小题满分12分) 设,求证:. |
(10分) 设a、b、c都是正数,求证 , 三个数中至少有一个不小于2 |
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