选修4-5：不等式选讲已知x，y均为正实数，求证：14x+14y≥1x+y．

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选修4-5：不等式选讲
已知x，y均为正实数，求证：

≥

x+y

．

答案

证明：因为x，y均为正实数，
所以x+y ≥ 2

，

≥ 2

，当且仅当x=y时等号成立（下同）． …（6分）
从而(x+y)(

) ≥ 2

•2

=4，…（8分）
所以

≥

x+y

． …（10分）

举一反三

不等式选讲：
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+

b2+

c2+m-1=0．
（Ⅰ）求证：a2+

b2+

c2≥

(a+b+c)2

；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．

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（1）设a，b，c均为正实数，且a≠b≠c，求证：a³+b³＞a²b+ab²
（2）求证：

＜2+

．

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（1）已知n≥0，试用分析法证明：

n+2

n+1

＜

n+1

（2）已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

b+c-a

a+c-b

a+b-c

＞3．

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（1）已知a，b＞0，求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）≥4abc．
（2）求证：

＜2

．

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已知f(n)=1+

+…+

，n∈n*，求证：
（1）当m＜n（m∈N^*）时，f(n)-f(m)＞

n-m

；
（2）当n＞1时，f(2n)＞

n+2

；
（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N₀，使得当n＞N₀时，有f（n）＞M．

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