（1）已知a，b＞0，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．（2）求证：3+7＜25．

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（1）已知a，b＞0，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．（2）求证：3+7＜25．

题型：不详难度：来源：
（1）已知a，b＞0，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．
（2）求证：


3
+


7
＜2


5
．
答案
证明：（1）∵b2+c2≥2bc，a＞0，∴a（b2+c2）≥2abc．
又∵c2+a2≥2ac，b＞0，∴b（c2+a2）≥2abc．
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc．
（2）∵


3
+


7
和2


5
都是正数，
要证


3
+


7
＜2


5

只需证(


3
+


7
)2＜(2


5
)2
整理得：


21
＜5
即证：21＜25
∵21＜25显然成立
∴原不等式成立
举一反三
已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，n∈n*，求证：
（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)-f(m)＞
n-m
n
；
（2）当n＞1时，f(2n)＞
n+2
2
；
（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N0，使得当n＞N0时，有f（n）＞M．
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（附加题）是否存在常数c，使得不等式
x
2x+y+z
+
y
x+2y+z
+
z
x+y+2z
≤c≤
x
x+2y+z
+
y
x+y+2z
+
z
2x+y+z

对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．
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某同学在一次研究性学习中发现，以下四个不等式都是正确的：
①（12+42）（92+52）≥（1×9+4×5）2；
②[（-6）2）+82]×（22+122）≥[（-6）×2+8×12]2
③[（6.5）2+（8.2）2]×[（2.5）2+（12.5）2]≥[（6.5）×（2.5）+（8.2）×（12.5）]2
④（202+102）（1022+72）≥（20×102+10×7）2．
请你观察这四个不等式：
（Ⅰ）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；
（Ⅱ）证明你的结论．
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设x≥1，y≥1，证明：x+y+
1
xy
≤
1
x
+
1
y
+xy．
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（用分析法证明）求证：


6
+


7
＞2


2
+


5
．
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