某同学在一次研究性学习中发现,以下四个不等式都是正确的:①(12+42)(92+52)≥(1×9+4×5)2;②[(-6)2)+82]×(22+122)≥[(-
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某同学在一次研究性学习中发现,以下四个不等式都是正确的: ①(12+42)(92+52)≥(1×9+4×5)2; ②[(-6)2)+82]×(22+122)≥[(-6)×2+8×12]2 ③[(6.5)2+(8.2)2]×[(2.5)2+(12.5)2]≥[(6.5)×(2.5)+(8.2)×(12.5)]2 ④(202+102)(1022+72)≥(20×102+10×7)2. 请你观察这四个不等式: (Ⅰ)猜想出一个一般性的结论(用字母表示); (Ⅱ)证明你的结论. |
答案
(Ⅰ)观察所给的4个等式,猜想出一个一般性的结论(用字母表示):(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,( a,b,c,d∈R ) (Ⅱ)证明:要证 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, 只要证 a2•c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+b2d2+2abcd, 只要证 a2d2-2abcd+b2c2≥0, 只要证 (ad-bc)2≥0. 而 (ad-bc)2≥0显然成立,故要证的不等式成立. |
举一反三
已知函数f(x)=+ (m>0).若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞)上恒成立, (1)求m取值范围; (2)证明:2ln2+3ln3+…+nlnn≤(n∈N*). |
(Ⅰ)已知a>0,b>0,c>0,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc (Ⅱ)求证:-<-2. |
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