已知函数f(x)=mx2+m-22x (m>0).若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞)上恒成立,(1)求m取值范围;(2)证明:2ln2+3ln3+…+nl
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已知函数f(x)=mx2+m-22x (m>0).若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞)上恒成立,(1)求m取值范围;(2)证明:2ln2+3ln3+…+nl
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
mx
2
+
m-2
2x
(m>0)
.若f(x)≥lnx+m-1在[1,+∞)上恒成立,
(1)求m取值范围;
(2)证明:2ln2+3ln3+…+nlnn
≤
2
n
3
+3
n
2
-5n
12
(n∈N
*
).
答案
(1)由题意,令
g(x)=lnx-
mx
2
-
m-2
2x
+m-1≤0
在x∈[1,+∞)上恒成立
g
′
(x)=
1
x
-
m
2
+
m-2
2
x
2
=
-(x-1)(mx+m-2)
2
x
2
…4分
当
-1<
2
m
-1≤1
时,即m≥1时g′(x)≤0在[1,+∞)恒成立,∴g(x)在其上递减.
∵g
max
=g(1)≤0
∴原式成立.
当
2
m
-1>1
,即0<m<1时,∵
g(1)=0,
g
max
=g(
2
m
-1)>g(1)=0
∴不能恒成立.
综上:m≥1…9分
(2)证明:取m=1,则lnx
≤
1
2
(x-
1
x
)
,∴
xlnx≤
x
2
-1
2
令x=n,∴
nlnn≤
n
2
-1
2
∴
2ln2+3ln3+…+nlnn≤
1
2
[
2
2
+
3
2
+..+
n
2
+1-n]
∵
1
2
+
2
2
+…+
n
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
∴2ln2+3ln3+…+nlnn
≤
2
n
3
+3
n
2
-5n
12
,原不等式成立…12分
举一反三
用分析法证明:
3
+
7
<2
5
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(Ⅰ)已知a>0,b>0,c>0,求证:a(b
2
+c
2
)+b(a
2
+c
2
)+c(a
2
+b
2
)≥6abc
(Ⅱ)求证:
7
-
6
<
5
-2
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:
a
2
a+1
+
b
2
b+1
≥1
.
题型:东至县模拟
难度:
|
查看答案
已知a,b,c∈R
+
,求证:
a
2
+
b
2
+
c
2
3
≥
a+b+c
3
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(1)求证:
7
-
6
<
5
-2
;
(2)已知函数f(x)=e
x
+
x-2
x+1
,用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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