已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：a2a+1+b2b+1≥1．

题型：东至县模拟难度：来源：

已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：

a+1

b+1

≥1．

答案

证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a²（b+1）+b²（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a²b+a²+ab²+b²≥ab+a+b+1．
等价于 a²+b²+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a²+b²+ab=（a+b）²=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2

，可得ab≤1成立，所以原不等式成立． …（12分）
另证：因为a，b都是正实数，所以

a+1

≥a，

b+1

≥b． …（6分）
两式相加得

a+1

b+1

≥a+b，…（8分）
因为 a+b=2，所以

a+1

b+1

≥1． …（12分）

举一反三

已知a，b，c∈R⁺，求证：

a2+b2+c2

≥

a+b+c

．

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（1）求证：

＜

-2；
（2）已知函数f（x）=e^x+

x-2

x+1

，用反证法证明方程f（x）=0没有负数根．

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设x+y+z=2

，则m=x²+2y²+z²的最小值为 ______．

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（Ⅰ）已知a，b∈R且a＞0，b＞0，求证：

≥a+b；
（Ⅱ）求函数y=

(1-x)2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

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已知函数f（x）=（1+x）ⁿ（x＞-1，n∈N^*）在点（0，1）处的切线L为y=g（x）
（Ⅰ）求切线L并判断函数f（x）在x∈（-1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）对任意的x∈（-1，+∞）都成立；
（Ⅲ）求证：已知m，n∈N^*，S_m=1^m+2^m+…+n^m，求证：n^m+1＜（m+1）S_m．

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