已知函数f(x)=(1+x)n(x>-1,n∈N*)在点(0,1)处的切线L为y=g(x)(Ⅰ)求切线L并判断函数f(x)在x∈(-1,+∞)上的单调性;(Ⅱ)
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=(1+x)n(x>-1,n∈N*)在点(0,1)处的切线L为y=g(x) (Ⅰ)求切线L并判断函数f(x)在x∈(-1,+∞)上的单调性; (Ⅱ)求证:f(x)≥g(x)对任意的x∈(-1,+∞)都成立; (Ⅲ)求证:已知m,n∈N*,Sm=1m+2m+…+nm,求证:nm+1<(m+1)Sm. |
答案
(Ⅰ)f′(0)=n,所以:y-1=n(x-0)⇒g(x)=nx+1,f′(x)=n(1+x)n-1, ∵x>-1, ∴f′(x)>0,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增;-(4分) (Ⅱ)要证:(1+x)n≥1+nx(x>-1,n∈N*)有三条可能的路径: (1)二项式定理展开比较法(不难得证); (2)数学归纳法(可参见选修4-5的贝努力不等式) (3)构造新函数法:要证:(1+x)n≥1+nx(x>-1,n∈N*), 把n当成常数,把x当成变量,构造函数h(x)=(1+x)n-nx-1, h′(x)=n(x+1)n-1-n=n[(x+1)n-1-1]--------------------------------(5分) ①n=1时,h(x)=0满足题意------------------------------------(6分) ②n≥2时,由(Ⅰ)知y=(x+1)n-1在(-1,+∞)上单调递增, h′(x)>0⇔(x+1)n-1>1=(0+1)n-1⇔x>0 所以h(x)在(-1,0)上单调递减;(0,+∞)上单调递增, 所以h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥g(x)对任意的x∈(-1,+∞)都成立-------(8分) 构造左n项右n项 (Ⅲ)要证:nm+1<(m+1)(1m+2m+…+nm), 只需证:(1m+1-0m+1)+(2m+1-1m+1)+…+(nm+1-(n-1)m+1)<(m+1)(1m+2m+…+nm), 只需证:(nm+1-(n-1)m+1)<(m+1)nm, 只需证:n-(1-)m(n-1)<m+1,只需证:n-m-1<(1-)m(n-1), 又(1-)m(n-1)>(1-)(n-1)=n-1-m+>n-1-m成立, 所以nm+1<(m+1)(1m+2m+…+nm)成立.-----------------------------------------------------(14分) |
举一反三
(1)解不等式≥3; (2)a,b∈R+,2c>a+b,求证c-<a<c+. |
求证:若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心,则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也必是此三角形的垂心. |
(1)a,b,c∈R,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca(综合法证明) (2)求证:-<-(分析法证明) |
如果a,b都是正数,且a≠b,求证:。 |
甲、乙两人同时从A到B。甲一半路程步行,一半路程跑步;乙一半时间步行,一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同,则 |
[ ] |
A.甲先到B B.乙先到B C.两人同时到B D.谁先到无法确定 |
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