已知a＞0，1b-1a＞1，求证：1+a＞11-b．

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已知a＞0，1b-1a＞1，求证：1+a＞11-b．

题型：不详难度：来源：
已知a＞0，
1
b
-
1
a
＞1，求证：


1+a
＞
1


1-b
．
答案
证明：证法一：由已知
1
b
-
1
a
＞1及a＞0，可知b＞0，
要证


1+a
＞
1


1-b
，
可证


1+a
•


1-b
＞1，
即证1+a-b-ab＞1，这只需证a-b-ab＞0，即
a-b
ab
＞1，即
1
b
-
1
a
＞1，
而这正是已知条件，以上各步均可逆推，所以原不等式得证．
证法二：
1
b
-
1
a
＞1及a＞0，可知1＞b＞0，
∵
1
b
-
1
a
＞1，
∴a-b-ab＞0，1+a-b-ab＞1，（1+a）（1-b）＞1．
由a＞0，1-b＞0，得


1+a
•


1-b
＞1，
即


1+a
＞
1


1-b
．
举一反三
选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知x，y都是正实数，求证：x3+y3≥x2y+xy2；
（Ⅱ）已知a，b，c都是正实数，求证：a3+b3+c3≥
1
3
(a2+b2+c2)(a+b+c)．
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|AB|=|xA-xB|表示数轴上A，B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算．这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p（x，y）叫做x，y之间的距离：条件一，非负性p（x，y）≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p（x，y）=p（y，x）；条件三，三角不等式p（x，z）≤p（x，y）+p（y，z）．
试确定运算s(x，y)=
|x-y|
1+|x-y|
是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例．
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求证：（1）n≥0，试用分析法证明，


n+2
-


n+1
＜


n+1
-


n
，
（2）当a、b、c为正数时，（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥9．
相等的非零实数．用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．
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求证：


6
-


5
＞2


2
-


7
．
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（1）若a≥1，用分析法证明


a+1
+


a-1
＜2


a
；
（2）已知a，b都是正实数，且ab=2，求证：（2a+1）（b+1）≥9．
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