已知a、b、c是不全相等的正数。求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc。

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已知a、b、c是不全相等的正数。
求证：a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）>6abc。

答案

证明：∵b²+c²≥2bc，
∴a（b²+c²）≥2abc，①
同理b（c²+a²）≥2abc，②
c（a²+b²）≥2abc，③
∵a、b、c不全相等，
∴b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，a²+b²≥2ab三式中不能全取 “=”
∴①②③式相加得a（b²+c²）+b（c²+a²）+c（a²+b²）>6abc。