已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N*)。(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·…an<2·n!
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已知数列{an}满足:a1=,且an=(n≥2,n∈N*)。(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,不等式a1·a2·…an<2·n!
题型:江西省高考真题
难度:
来源:
已知数列{a
n
}满足:a
1
=
,且a
n
=
(n≥2,n∈N*)。
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,不等式a
1
·a
2
·…a
n
<2·n!
答案
解:(1)将条件变为:
因此
一个等比数列,其首项为
,公比
从而
据此得
①;
(2)据①得
为证a
1
·a
2
·…a
n
<2·n!
只要证n∈N*时有
②
显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个n∈N*,有
③
用数学归纳法证明③式:
(i)n=1时,③式显然成立,
(ii)设n=k时,③式成立
即
则当n=k+1时,
即当n=k+1时,③式也成立
故对一切n∈N*,③式都成立。
利用③得
故②式成立,从而结论成立。
举一反三
已知:|a|<c,|b|<c,求证:
。
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用适当方法证明:已知:a>0,b>0,求证:
。
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已知n∈N*,且n≥2,求证:
。
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。
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。
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