证明 方法一 用数学归纳法证明: (1)当n=0时,a0=1,a1=a0(4-a0)=, 所以a0<a1<2,命题正确. (2)假设n=k时命题成立,即ak-1<ak<2. 则当n=k+1时,ak-ak+1 =ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak) =2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak) = (ak-1-ak)(4-ak-1-ak). 而ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以ak-ak+1<0. 又ak+1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]<2. 所以n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知,对一切n∈N时有an<an+1<2. 方法二 用数学归纳法证明: (1)当n=0时,a0=1,a1=a0(4-a0)= , 所以0<a0<a1<2; (2)假设n=k时有ak-1<ak<2成立, 令f(x)= x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增, 所以由假设有:f(ak-1)<f(ak)<f(2), 即ak-1(4-ak-1)<ak(4-ak)<×2×(4-2), 也即当n=k+1时,ak<ak+1<2成立. 所以对一切n∈N,有ak<ak+1<2. |