已知函数f(x)=a•4x-2x+1+a+3.(1)若a=0,解方程f(2x)=-5;(2)若a=1,求f(x)的单调区间;(3)若存在实数x0∈[-1,1],

已知函数f(x)=a•4x-2x+1+a+3.(1)若a=0,解方程f(2x)=-5;(2)若a=1,求f(x)的单调区间;(3)若存在实数x0∈[-1,1],

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已知函数f(x)=a•4x-2x+1+a+3.
(1)若a=0,解方程f(2x)=-5;
(2)若a=1,求f(x)的单调区间;
(3)若存在实数x0∈[-1,1],使f(x0)=4,求实数a的取值范围.
答案
(1)若a=0,由f(2x)=-5,即-22x+1+3=-5,
∴22x+1=8,∴22x+1=23
∴2x+1=3
∴x=1(2分)
(2)若a=1,则f(x)=4x-2x+1+4,设x1,x2∈R,且x1<x2
f(x2)-f(x1)=4x2-2x2+1+4-(4x1-2x1+1+4)=(4x2-4x1)-2(2x2-2x1)=(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)
2x2-2x1>0
①当x1,x2∈[0,+∞)时,有2x2+2x1-2>0
(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)>0
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在[0,+∞)上是增函数;
②当x1,x2∈(-∞,0]时,有2x2+2x1-2<0
(2x2-2x1)(2x2+2x1-2)<0
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在(-∞,0]上是减函数
∴f(x)的单调增区间是[0,+∞),单调减区间是(-∞,0](7分)
(3)设2x=t,由x0∈[-1,1],得t∈[
1
2
,2]
,且f(x)=a•4x-2x+1+a+3=a•t2-2t+a+3
∴存在t∈[
1
2
,2]
,使得a•t2-2t+a+3=4,即a•t2-2t+a-1=0
令g(t)=a•t2-2t+a-1,
若a=0,由f(x0)=4,无解.
若a≠0,则函数g(t)的对称轴是t=
1
a

由已知得方程g(t)=0在t∈[
1
2
,2]
上有实数解
g(
1
2
)g(2)≤0





a>0
1
2
1
a
≤2
△≥0
g(
1
2
)≥0
g(2)≥0

(
5
4
a-2)(5a-5)≤0





a>0
1
2
1
a
≤2
1-


5
2
a≥
8
5
a≥1
a≤
1+


5
2

1≤a≤
8
5
8
5
≤a≤
1+


5
2

∴实数a的取值范围为[1,
1+


5
2
]
举一反三
若关于x的方程tx2+(2-3t)x+1=0的两个实根α,β满足0<α<1<β<2,试求实数t的取值范围.
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已知f(x)=(x-m)(x-n)+2,并且α、β是方程f(x)=0的两根,则实数m,n,α,β的大小关系可能是(  )
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A.α<m<n<βB.m<α<β<nC.m<α<n<βD.α<m<β<n
求实数m的取值组成的集合M,使x∈M时,“p或q”为真,“p且q”为假.其中p:方程x2-mx+1=0有两个不相等的负根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.
有如下几个说法:
①如果x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根且x1<x2,那么不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2};
②当△=b2-4ac<0时,二次不等式 ax2+bx+c>0的解集为∅;
≤0与不等式(x-a)(x-b)≤0的解集相同;
<3与x2-2x<3(x-1)的解集相同.
其中正确说法的个数是(  )
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A.3B.2C.1D.0
已知实数k满足数学公式.则方程x2-kx+1=0的两个根可分别作为(  )
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