【题文】 定义在(-1,1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();②当x∈(-1,0)时,有f(x)>0. 求
【题文】 定义在(-1,1)上的函数f(x)满足①对任意x、y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();②当x∈(-1,0)时,有f(x)>0. 求
题型:难度:来源:
【题文】 定义在(-1,1)上的函数
f(
x)满足①对任意
x、
y∈(-1,1),都有
f(
x)+
f(
y)=
f(
);②当
x∈(-1,0)时,有
f(
x)>0.
求证:
.
答案
【答案】证明略
解析
【解析】 对
f(
x)+
f(
y)=
f(
)中的
x,
y,令
x=
y=0,得
f(0)=0,
再令
y=-
x,又得
f(
x)+
f(-
x)=
f(0)=0,即
f(-
x)=-
f(
x),
∴
f(
x)在
x∈(-1,1)上是奇函数.
设-1<
x1<
x2<0,则
f(
x1)-
f(
x2)=
f(
x1)+
f(-
x2)=
f(
),
∵-1<
x1<
x2<0,∴
x1-
x2<0,1-
x1x2>0
∴
<0,
于是由②知
f(
)
举一反三
【题文】函数
f(
x)的定义域为R,且
x≠1,已知
f(
x+1)为奇函数,当
x<1时,
f(
x)=2
x2【题文】 若
,则
____
【题文】函数
的定义域为R,并满足以下条件:①对任意
,有
;
②对任意
、
,有
;③
则
(1)求
的值; (4分)
(2)求证:
在R上是单调增函数; (5分)
(3)若
,求证:
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