【题文】（本小题满分14分）已知二次函数（为常数，）的一个零点是.函数，设函数.（1）求的值，当时，求函数的单调增区间；（2）当时，求函数在区间上的最小值；（3

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【题文】（本小题满分14分）已知二次函数（为常数，）的一个零点是.函数，设函数.
（1）求的值，当时，求函数的单调增区间；
（2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）记函数图象为曲线C，设点是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作轴的垂线交曲线C于点N.判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由.

答案

【答案】（1）,;
（2）;
（3）曲线在点处的切线不平行于直线

解析

【解析】
试题分析：（1）根据,可得.所以.求导,讨论导数的符号,导数大于0得增区间,导数小于0得减区间. （2）讨论两根的大小,在讨论的符号得其单调区间,根据单调区间可得其最值.（3）设，则点的横坐标为.由斜率公式可得直线斜率.根据导数的几何意义可知在点处的切线的斜率.假设曲线在点处的切线平行于直线，则.即，所以 ，不妨设，，则，令，判断等于0是否有解.
试题解析：（1）由是函数的零点可求得.
，
因为，，所以，解，得，
所以的单调增区间为                                   4分
（2）当时，由，得，，     
①当，即时，在上是减函数，
所以在上的最小值为.
②当，即时，
在上是减函数，在上是增函数，
所以的最小值为.
③当，即时，在上是增函数，
所以的最小值为.
综上，函数在上的最小值，        8分
（3）设，则点的横坐标为，
直线的斜率 
，
曲线在点处的切线斜率
，
假设曲线在点处的切线平行于直线，则，
即，
所以 ，不妨设，，则，
令，，
所以在上是增函数，又，所以，即不成立，
所以曲线在点处的切线不平行于直线.                        14分
考点：用导数研究函数的性质.