【题文】已知函数.(Ⅰ)用定义证明是偶函数;(Ⅱ)用定义证明在上是减函数;(Ⅲ)作出函数的图像,并写出函数当时的最大值与最小值.
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
.
(Ⅰ)用定义证明
是偶函数;
(Ⅱ)用定义证明
在
上是减函数;
(Ⅲ)作出函数
的图像,并写出函数
当
时的最大值与最小值.
答案
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)最大值为
,最小值为
解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)直接利用已知算
,只需证明
即可;(Ⅱ)只需按照奇函数与偶函数定义证明即可.即根据定义第一步,任取值;第二步,作差;第三步,判断符号;第四步,下结论;注意步骤.(Ⅲ)利用单调性即可解决.
试题解析:(Ⅰ)证明:函数
的定义域为
,对于任意的
,都有
,∴
是偶函数.
(Ⅱ)证明:在区间
上任取
,且
,则有
∵
,
,∴
即
∴
,即
在
上是减函数.
(Ⅲ)解:最大值为
,最小值为
.
考点:函数性质及其应用
举一反三
【题文】下列函数中既是偶函数又在
上是增函数的是( )
【题文】已知函数
在
上单调,则实数
的取值范围为( )
【题文】已知
是定义在
上的偶函数,且在
上是增函数,设
,
,
,则
的大小关系是( )
【题文】已知函数
满足:①
;②在
上为增函数,若
,且
,则
与
的大小关系是( )
【题文】(本小题满分12分)对于函数
,
(1)求函数的定义域;
(2)当
为何值时,
为奇函数;
(3)写出(2)中函数的单调区间,并用定义给出证明.
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