【题文】已知函数.(1)当x∈[0,4]时,求f(x)的最大值和最小值;(2)若x∈[0,4],使≥0成立,求实数a的取值范围.
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
.
(1)当x∈[0,4]时,求f(x)的最大值和最小值;
(2)若
x∈[0,4],使
≥0成立,求实数a的取值范围.
答案
【答案】(1)f(x)
min=-
,f(x)
max=170;(2)(-∞,
]
解析
【解析】试题分析:(1)将f(x)转化为关于2
x的二次函数,在限定区间上讨论单调性并求最值;(2)分离参数a,使之成为a≤g(t)恒成立的形式,求参数a的取值范围.
试题解析:(1)∵f(x)=(2
x)
2-5·2
x-6
设2
x=t,∵x∈[0,4],则t∈[1,16]
∴f(x)=h(t)=t
2-5t-6,t∈[1,16]
∵当t∈[1,
]时函数单调递减;当t∈[
,16]时函数单调递增
∴f(x)
min=h(
)=-
,f(x)
max=h(16)=170即为所求最大值和最小值.
(2)∵f(x)+12-a·2
x≥0恒成立,而t=2
x>0
∴存在t∈[1,16]使得a≤t+
-5成立
令g(t)=t+
-5在[1,
]上递减,在[
,16]上递增
而g(1)=2<g(16)=
∴g(t)
max=g(16)=
∴a≤g(t)
max=g(16)=
∴a的取值范围是(-∞,
]
考点:指数函数,二次函数的单调性,函数的最值,不等式恒成立问题,换元法
举一反三
【题文】已知函数
在区间
上的最大值为_____________.
【题文】设函数
在区间
上是减函数,则实数
的取值范围是___________.
【题文】(本小题满分12分)
已知定义在R奇函数
.
(1)求
、
的值;
(2)判断并证明
在R上的单调性;
(3)求该函数的值域.
【题文】下列函数在区间
上为增函数的是( )
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