【题文】(本题16分)已知函数,(x>0).(1)判断函数的单调性;(2),求的值;(3)是否存在实数,使得函数的定义域、值域都是[a,b]?若存在,请求
题型:难度:来源:
【题文】(本题16分)已知函数
,(x>0).
(1)判断函数的单调性;
(2)
,求
的值;
(3)是否存在实数
,使得函数
的定义域、值域都是[a,b]?若存在,请求出a,b的值,若不存在,请说明理由.
答案
【答案】(1)f(x)在(0,1)上为减函数,在
上是增函数(2)
(3)不存在适合条件的实数a,b.
解析
【解析】
试题分析:(1)求分段函数的单调性,可先求出各段单调性,然后一般用逗号连接;(3)与函数有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点.
试题解析:(1)∵x>0,∴
∴f(x)在(0,1)上为减函数,在
上是增函数.
(2)由0<a<b,且f(a)=f(b),可得 0<a
1<b和
.
即
.
(3)不存在满足条件的实数a,b.
若存在满足条件的实数a,b,使得函数y=
的定义域、值域都是[a,b],则a>0
而
①当
时,
在(0,1)上为减函数.
故
即
解得 a=b.
故此时不存在适合条件的实数a,b.
② 当
时,
在
上是增函数.
故
即
此时a,b是方程
的根,此方程无实根.故此时不存在适合条件的实数a,b.
③ 当
,
时,由于
,而
,故此时不存在适合条件的实数a,b.
综上可知,不存在适合条件的实数a,b.
考点:函数的单调性,判断存在性问题.
举一反三
【题文】若函数
在
上单调递增,则实数
的取值范围是( )
【题文】函数
的单调递增区间是
.
【题文】(本题12分)函数
.
(1)若
,求
的值;
(2)确定函数
在区间
上的单调性,并用定义证明.
【题文】(本小题满分12分) 已知
.
(1) 求
的解析式,并标注定义域;
(2)指出
的单调区间,并用定义加以证明。
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