【题文】已知函数是定义在上的奇函数,且,若,,则有.(1)判断的单调性,并加以证明;(2)解不等式;(3)若对所有,恒成立,求实数的取值范围.
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
是定义在
上的奇函数,且
,若
,
,则有
.
(1)判断
的单调性,并加以证明;
(2)解不等式
;
(3)若
对所有
,
恒成立,求实数
的取值范围.
答案
【答案】(1)增函数,证明过程见解析,(2)
,(3)
或
或
。
解析
【解析】
试题分析:(1)根据单调函数的定义,先取值:任取
,且
,然后根据已知条件结合赋值法得
,再根据奇函数的定义得
,
在
上单增。(2)根据(1)中的单调性,去掉
,要注意函数的定义域,可得
,解该不等式求得
的范围。(3)这是一个不等式恒成立问题,结合(1)可知该不等式可转化为
对任意
恒成立,然后构造函数
,
,这是关于
的一次函数,只需保证
即可。
试题解析:(1)证:任取
,且
,则
由题意
因为
为奇函数,所以
所以
,即
,所以
在
上单增 4分
(2)由题意得
, 所以
,故该不等式的解集为
8分
(3)由
在
上单增,
,由题意,
,
即
对任意
恒成立,令
,
, 所以
或
或
综上所述,
或
或
12分
考点:(1)单调函数的定义、奇函数的定义,(2)利用函数的单调性求范围,(3)构造函数解决一元二次不等式恒成立问题。
举一反三
【题文】已知
为
上增函数,且对任意
,都有
,则
____________.
【题文】设关于
的方程
有两个实根
,函数
.
(1)求
的值;
(2)判断
在区间
的单调性,并加以证明;
(3)若
均为正实数,证明:
【题文】设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f[f(x)-e
x]=e+1(e是自然对数的底数),则f(ln2)的值等于( )
【题文】下列函数中,在区间
上为增函数的是( )
【题文】”a<0”是”函数
在区间
上单调递增”的( )
A.必要不充分条件 | B.充要条件 |
C.既不充分也不必要条件 | D.充分不必要条件 |
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