【题文】(本小题满分14分)已知是定义在R上的奇函数,且当 时,.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)问是否存在这样的正数a, b使得当 时,函数的值域
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【题文】(本小题满分14分)已知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124034-89508.png)
是定义在R上的奇函数,且当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124035-43271.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124035-44992.png)
.
(Ⅰ)求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124034-89508.png)
的解析式;
(Ⅱ)问是否存在这样的正数a, b使得当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124035-48179.png)
时,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124035-80458.png)
的值域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124036-46280.png)
,若存在,求出所有a, b的值,若不存在,说明理由.
答案
【答案】(1)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124036-80112.png)
;(2)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124037-28757.png)
.
解析
【解析】
试题分析:(1)设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124037-40326.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124037-88732.png)
,先求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124038-43291.png)
,再根据奇偶性求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124038-20097.png)
;(2)根据函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124038-20097.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124035-48179.png)
的单调性,讨论
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124038-67821.png)
与1的大小关系.
解题思路:1.根据函数的奇偶性求函数的解析式,一定要在所求区间内设值;
2.研究函数在给定区间上的值域问题,要研究函数在该区间上的单调性,确定何时取得最值.
试题解析:(Ⅰ)设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124037-40326.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124037-88732.png)
由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124039-64815.png)
所以
(Ⅱ)存在满足条件的正数a,b.
若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124039-61812.png)
则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124040-18358.png)
而当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124040-55089.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124040-25384.png)
不成立。
若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124041-95369.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124041-48057.png)
不成立
若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124042-90601.png)
时,因为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124035-80458.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124042-28084.png)
上是减函数,于是有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124042-61751.png)
由于
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124042-89249.png)
,所以
故存在正数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124037-28757.png)
使得命题成立.
考点:1.函数的奇偶性;2.函数的解析式;3.函数的单调性.
举一反三
【题文】已知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124025-80392.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124025-91342.png)
上是奇函数,且满足
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124026-11505.png)
,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124026-48479.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124027-71043.png)
,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124027-58689.png)
( )
【题文】给出定义:若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124000-92906.png)
(其中M为整数),则M叫做离实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124001-13710.png)
最近的整数,记作
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124001-20248.png)
。在此基础上给出下列关于函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124001-68191.png)
的四个结论:
①函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124002-45232.png)
的定义域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124002-98063.png)
,值域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124002-61023.png)
;
②函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124002-45232.png)
的图象关于直线
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124003-29658.png)
对称;
③函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124002-45232.png)
是偶函数;
④函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124002-45232.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326124003-48157.png)
上是增函数。
其中正确结论的是
(把正确的序号填在横线上)。
【题文】(14分)已知指数函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123921-75865.png)
满足:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123922-64193.png)
,定义域为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123922-35178.png)
的函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123922-16027.png)
是奇函数。
(1)求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123923-64008.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123923-25965.png)
的值;
(2)判断函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123923-13876.png)
的单调性并用定义加以证明;
(3)若对任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123924-89788.png)
,不等式
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123924-42831.png)
恒成立,求实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123924-12022.png)
的取值范围。
【题文】(本小题共15分)已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123855-74353.png)
对任意实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123855-86655.png)
恒有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-40771.png)
且当x>0,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-70665.png)
(1)判断
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123855-74353.png)
的奇偶性;
(2)求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123855-74353.png)
在区间[-3,3]上的最大值;
(3)解关于
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-45028.png)
的不等式
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326123856-86535.png)
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