【题文】（本小题共15分）已知函数对任意实数恒有且当x＞0，（1）判断的奇偶性；（2）求在区间[－3,3]上的最大值；（3）解关于的不等式

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【题文】（本小题共15分）已知函数对任意实数恒有且当x＞0，
（1）判断的奇偶性；
（2）求在区间[－3,3]上的最大值；
（3）解关于的不等式

答案

【答案】（1）为奇函数；（2）6；（3）当时，；当时，；  
当时，；当时, ；当a>2时，。

解析

【解析】
试题分析：（1）令可得，再令，根据奇函数的定义可判断为奇函数；
（2）由已知条件和单调函数的定义判断函数在区间为减函数，所以在区间上，；（3）由于函数是奇函数，整理得又是减函数，所以，对参数分类讨论，可求不等式的解集。
试题解析：（1）取则.
取
对任意恒成立 ∴为奇函数
（2）任取， 则 
.
 又为奇函数 
∴在（－∞，+∞）上是减函数.
对任意，恒有
而
...................8分
∴在[－3，3]上的最大值为6 
（3）∵为奇函数，∴整理原式得
进一步可得 
而在（－∞，+∞）上是减函数，
 
当时，    
当时，．  
当时， 
当时,
当a>2时，
综上所述：当时，    
当时，．  
当时， 
当时,
当a>2时，.
考点：抽象函数的单调性、奇偶性，解不等式，分类讨论。