已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R),函数g(x)=㏑x.(1)当a=1时,求函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值;(2)若在区间[1,2]上f(x)的
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R),函数g(x)=㏑x. (1)当a=1时,求函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值; (2)若在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点),求实数a的取值范围; (3)当a>0时,设h(x)=|f(x)|,x∈[-1,1].求h(x)的最大值F(a)的解析式. |
答案
(1)∵f"(x)=3x2-3=0,∴x=±1 ∵f(-2)=-2,f(2)=2,f(1)=-2 ∴函数的最小值为f(x)min=-2 (2)∵在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方 ∴x3-3ax≥lnx在[1,2]上恒成立得 3a<x2-在[1,2]上恒成立 设h(x)=x2-则 h′(x)=2x-= ∵2x3-1≥0,lnx≥0 ∴h"(x)≥0 ∴h(x)min=h(1)=1 ∴a< (3)因g(x)=|f(x)|=|x3-3ax|在[-1,1]上是偶函数,故只要求在[0,1]上的最大值 ①当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)=0,∴g(x)=f(x)F(a)=f(1)=1-3a. ②当a>0时,f′(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),(ⅰ)当 ≥1,即a≥1g(x)=|f(x)|=-f(x),-f(x)在[0,1]上单调递增,此时F(a)=-f(1)=3a-1 (ⅱ)当 0<<1,即0<a<1时,f(x)在[0,]上单调递减,在 [,1]单调递增; 1°当 f(1)=1-3a≤0,即≤a<1时,g(x)=|f(x)|=-f(x),-f(x)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,F(a)=-f()=2a; 2°当 f(1)=1-3a>0,即0<a< (ⅰ)当 -f()≤f(1)=1-3a,即0<a≤时,F(a)=f(1)=1-3a (ⅱ)当 -f()>f(1)=1-3a,即<a<时,F(a)=-f()=2a(1)-2 ∴F(a)= |
举一反三
若函数f(x)=x4+(m-1)x+1为偶函数,则实数m的值为______. |
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称,且当x∈(0,1)时,g(x)=1nx-ax2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若对于区间(0,1)上任意的x,都有|f(x)|≥1成立,求实数a的取值范围. |
已知向量=(cosx-3,sinx),=(cosx,sinx-3),f(x)=• (1)求函数f(x)的最小正周期及最值; (2)若x∈[-π,0],求函数f(x)的单调增区间;π (3)若不等式|f(x)-m|<1在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围. |
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞) | B.(-2,1) | C.(-1,2) | D.(-∞,-2)∪(1,+∞) |
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已知函数f(x)是区间D⊆[0,+∞)上的增函数,若f(x)可表示为f(x)=f1(x)+f2(x),且满足下列条件:①f1(x)是D上的增函数;②f2(x)是D上的减函数;③函数f2(x)的值域A⊆[0,+∞),则称函数f(x)是区间D上的“偏增函数”. (1)(i) 问函数y=sinx+cosx是否是区间(0,)上的“偏增函数”?并说明理由; (ii)证明函数y=sinx是区间(0,)上的“偏增函数”. (2)证明:对任意的一次函数f(x)=kx+b(k>0),必存在一个区间D⊆[0,+∞),使f(x)为D上的“偏增函数”. |
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