设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=1nx-ax2．（1）求函数f（x）的解析式
题型：解答题难度：一般来源：南通一模
设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=1nx-ax2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（-x，y）在g（x）的图象上．
当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，则f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax2．（2分）
∵f（x）为[-1，1]上的奇函数，则f（0）=0．（4分）
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax2．（6分）
∴f（x）= | | ln(-x)-ax2(-1≤x＜0) | | 0 (x=0) | | -lnx+ax2(0＜x≤1) |
| |
（7分）
（2）由（1）知，f"（x）=-+2ax．
①若f"（x）≤0在（0，1]恒成立，则-+2ax≤0⇒a≤．
此时，a≤，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=a，
∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②当a＞时，令f"（x）=-+2ax=0⇒x=∈（0，1]，
∴当x∈（0，）时，f"（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（，1]时，f"（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）min=f（）=-ln+a( 2=ln2a+．
由|f（x）|≥1，得ln2a+≥1⇒≥．（15分）
综上所述，实数a的取值范围为a≥．（16分） |
举一反三
已知向量=（cosx-3，sinx），=（cosx，sinx-3），f（x）=•
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）若x∈[-π，0]，求函数f（x）的单调增区间；π
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围． |
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2-a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（ ）| A．（-∞，-1）∪（2，+∞） | B．（-2，1） | C．（-1，2） | D．（-∞，-2）∪（1，+∞） |
|
已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数，若f（x）可表示为f（x）=f1（x）+f2（x），且满足下列条件：①f1（x）是D上的增函数；②f2（x）是D上的减函数；③函数f2（x）的值域A⊆[0，+∞），则称函数f（x）是区间D上的“偏增函数”．
（1）（i） 问函数y=sinx+cosx是否是区间(0，)上的“偏增函数”？并说明理由；
（ii）证明函数y=sinx是区间(0，)上的“偏增函数”．
（2）证明：对任意的一次函数f（x）=kx+b（k＞0），必存在一个区间D⊆[0，+∞），使f（x）为D上的“偏增函数”． |
已知函数f（x）=alnx+bx4-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤-2c2恒成立，求c的取值范围． |
已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性（直接写出你的结论）
（Ⅱ）若f（x）在[2，+∞）是增函数，求实数a的范围． |
最新试题
热门考点