已知函数f（x）=alnx+bx4-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值； （2）讨论函数f（x）的单调区间
题型：解答题难度：一般来源：锦州一模
已知函数f（x）=alnx+bx4-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≤-2c2恒成立，求c的取值范围． |
答案
（1）由题意知f（1）=-3-c，∴f（1）=b-c=-3-c，从而b=-3．
又f′(x)=+4bx3．
由题意f"（1）=0，因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知f′(x)=-12x3=（x＞0），
令f"（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f"（x）＞0，此时f（x）为增函数；
当x＞1时，f"（x）＜0，此时f（x）为减函数．
因此f（x）的单调递增区间为（0，1），而f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极大值f（1）=-3-c，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤-2c2（x＞0）恒成立，只需-3-c≤-2c2．
即2c2-c-3≤0，从而（2c-3）（c+1）≤0，
解得-1≤c≤．
所以c的取值范围为[-1，]． |
举一反三
已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性（直接写出你的结论）
（Ⅱ）若f（x）在[2，+∞）是增函数，求实数a的范围． |
若不等式[（1-x）t-x]lgx＜0对任意正整数t恒成立，则实数x的取值范围是（ ）| A．{x|x＞1} | B．{x|0＜x＜} | | C．{x|0＜x＜或x＞1} | D．{x|0＜x＜或x＞1} |
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函数f(x)=是（ ）| A．奇函数 | B．偶函数 | | C．既是奇函数又是偶函数 | D．非奇非偶函数 |
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奇函数他（x）在区间[3，5]上是增函数，且最小值为3，则他（x）在区间[-5，-3]上是（ ）| A．增函数，且最小值为-3 | B．增函数，且最大值为-3 | | C．减函数，且最小值为-3 | D．减函数，且最大值为-3 |
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已知函数f(x)=log5，
（1）求f（x）的定义域．
（2）证明f（x）为奇函数．
（3）判断f（x）的单调性并证明．
（4）解不等式f（x）＜f（1-x） |
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