已知函数f(x)=log51+x1-x,(1)求f(x)的定义域.(2)证明f(x)为奇函数.(3)判断f(x)的单调性并证明.(4)解不等式f(x)<f(1-
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已知函数f(x)=log51+x1-x,(1)求f(x)的定义域.(2)证明f(x)为奇函数.(3)判断f(x)的单调性并证明.(4)解不等式f(x)<f(1-
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=lo
g
5
1+x
1-x
,
(1)求f(x)的定义域.
(2)证明f(x)为奇函数.
(3)判断f(x)的单调性并证明.
(4)解不等式f(x)<f(1-x)
答案
(1)∵
1+x
1-x
>0
,即-1<x<1∴
f(x)=lo
g
5
1+x
1-x
的定义域为(-1,1)(3分)
(2)
f(x)=lo
g
5
1+x
1-x
∵的定义域为(-1,1),在(-1,1)上任取一个自变量x
则
f(-x)=lo
g
5
1-x
1+x
=-lo
g
5
1+x
1-x
=-f(x)
∴f(x)为奇函数.(6分)
(3)在区间(-1,1)上任取x
1
,x
2
∴-1<x
1
<x
2
<1(17分)
f(
x
1
)-f(
x
2
)=lo
g
5
1+
x
1
1-
x
1
-lo
g
5
1+
x
2
1-
x
2
=lo
g
5
(
1+
x
1
1+
x
2
.
1-
x
2
1-
x
1
)
(9分)
又0<1+x
1
<1+x
2
&,0<1-x
2
<1-x
1
∴
0<
1+
x
1
1+
x
2
<1&,0<
1-
x
2
1-
x
1
<1,即0<
1+
x
1
1+
x
2
.
1-
x
2
1-
x
1
<1
(11分)
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x)为(-1,1)上的增函数(12分)
(4)∵f(x)为(-1,1)上的增函数∴-1<x<1-x<1
解得
0<x<
1
2
(14分)
举一反三
f(x)=ax
2
+1在[3-a,5]上是偶函数,则a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
若函数e=kx
2
-4x+k-3对一切实数x都有e<它,则实数k的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,如果不等式f(1-m)<f(m)成立,则实数m的取值范围是( )
A.
[-1,
1
2
)
B.[1,2]
C.[0,
1
2
)
D.(
-1,
1
2
)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
若不等式a≤-x
2
+2x对于一切x∈[-1,1]恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=lo
g
1
3
1+x
1-x
.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)若f(a)>1求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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