已知向量a=（cosx-3，sinx），b=（cosx，sinx-3），f（x）=a•b（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2）若x∈[-π，0]，求函数

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），f（x）=

a

•

b

（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）若x∈[-π，0]，求函数f（x）的单调增区间；π
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）∵向量

a

=（cosx-3，sinx），

b

=（cosx，sinx-3），
∴f（x）=

a

•

b

=cos²x-3cosx+sin²x-3sinx=-3

2

sin（x+

π

4

）+1
则函数f（x）的最小正周期T=2π，
函数f（x）的最大值为3

2

+1，最小值为-3

2

+1，
（2）∵x∈[-π，0]，
∴x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]
则函数f（x）的单调增区间为[-

3π

4

，-

π

2

]
（3）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，x+

π

4

∈[

π

2

，

3π

4

]
f（x）∈[-3

2

+1，-2]
若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立
则m-1＜-3

2

+1，且m+1＞-2
∴-3＜m＜-3

2

+2