(1)(i) y=sinx+cosx是区间(0,)上的“偏增函数”. 记f1(x)=sinx,f2(x)=cosx,显然f1(x)=sinx在(0,)上单调递增,f2(x)=cosx在(0,)上单调递减, 且f2(x)=cosx∈(,1)⊆[0,+∞), 又y=f(x)=sinx+cosx=sin(x+)在(0,)上单调递增, 故y=sinx+cosx是区间(0,)上的“偏增函数”. (ii)证明:y=sinx=(sinx-cosx)+cosx=sin(x-)+cosx, 记f1(x)=sin(x-),f2(x)=cosx, 显然f1(x)=sin(x-)在(0,)上单调递增,f2(x)=cosx在(0,)上单调递减, 且f2(x)=cosx∈(,1)⊆[0,+∞), 又y=f(x)=f1(x)+f2(x)=sinx在(0,)上单调递增, 故y=sinx是区间(0,)上的“偏增函数”. (2)证明:①当b>0时,令f1(x)=(k+1)x,f2(x)=-x+b,D=(0,b),显然D=(0,b)⊆[0,+∞), ∵k>0,∴f(x)=kx+b在(0,b)上单调递增, f1(x)=(k+1)x在(0,b)上单调递增,f2(x)=-x+b在(0,b)上单调递减, 且对任意的x∈(0,b),b>f2(x)>f2(b)=0, 因此b>0时,必存在一个区间(0,b),使f(x)=kx+b(k>0)为D上的“偏增函数. ②当b≤0时,取c>0,且满足c+b>0,令f1(x)=(k+1)x-c,f2(x)=-x+b+c,D=(0,b+c)⊆[0,+∞), 显然,f(x)=kx+b在(0,b+c)上单调递增, f1(x)=(k+1)x-c在(0,b+c)上单调递增,f2(x)=-x+b+c在(0,b+c)上单调递减, 且对任意的(0,b+c),b+c>f2(x)>f2(b+c)=0, 因此b≤0时,必存在一个区间(0,b+c),使f(x)=kx+b(k>0)为D上的“偏增函数”. 综上,对任意的一次函数f(x)=kx+b(k>0),必存在一个区间D⊆[0,+∞), 使f(x)为D上的“偏增函数”. |