【题文】（本小题满分12分）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.（Ⅰ）证明函数是奇函数；（Ⅱ）讨论函数在区间上的单调性；（Ⅲ）设，若，对所有，恒成立

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【题文】（本小题满分12分）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
（Ⅰ）证明函数是奇函数；
（Ⅱ）讨论函数在区间上的单调性；
（Ⅲ）设，若，对所有，恒成立，求实数的取值范围.

答案

【答案】（Ⅰ）奇函数；（Ⅱ）单调递增函数；（Ⅲ）或.

解析

【解析】
试题分析：（Ⅰ）对于抽象函数的研究，往往用赋值法，即给变量赋予特殊值或特殊关系，奇偶性的判断需从定义出发；（Ⅱ）单调性的研究也必须从定义出发；（Ⅲ）利用已经得到的单调性，去掉函数法则符号，转化为具体的不等式，然后再利用变更主元的思想方法求参数的范围.
试题解析：（Ⅰ）因为有，
令，得，所以，                     1分
令可得：
所以，所以为奇函数.                                3分
（Ⅱ）是定义在上的奇函数，由题意设，则
由题意时，有，
是在上为单调递增函数；                                     7分
（Ⅲ）因为在上为单调递增函数，
所以在上的最大值为，                                 8分
所以要使<，对所有恒成立，
只要，即，                                    9分
令
由  得，
或.                                       12分
考点：抽象函数及其性质的综合应用.