【题文】(12分)已知函数对于任意的且满足.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)判断函数的奇偶性;(Ⅲ)若函数在上是增函数,解不等式.
题型:难度:来源:
【题文】(12分)已知函数
对于任意的
且
满足
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)判断函数
的奇偶性;
(Ⅲ)若函数
在
上是增函数,解不等式
.
答案
解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)采用特殊值法求值;(Ⅱ)根据奇、偶函数的定义及特殊值法,求出
,即证其为偶函数;(Ⅲ)根据
,则
,进而
,再由
的奇偶性、单调性确定
,且
,最后得不等式的解集为:
.
试题解析:(Ⅰ)∵对于任意的
且
满足
,
∴令
,得到:
, ∴
,
令
,得到:
, ∴
;
(Ⅱ)证明:由题意可知,令
,得
,
∵
,∴
,
∴
为偶函数;
(Ⅲ)解:由已知及
知不等式
可化为
,
又由函数
是定义在非零实数集上的偶函数且在
上是增函数.
∴
,即:
且
,
解得:
或
且
故不等式的解集为:
.
考点:1、特殊值法;2、函数奇、偶性的判定;3、不等式的解法.
举一反三
【题文】定义在R上的奇函数
,满足
,则
在区间(0,6)内零点
个数( )
【题文】若定义在
上的偶函数
是
上的递增函数,则不等式
的解集是( )
【题文】在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为
.
①函数
的图象关于点
成中心对称;
②对
若
,则
;
③若实数
满足
则
的最大值为
;
④若
为钝角三角形,则
【题文】在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为
.
①函数
的图象关于点
成中心对称;
②对
若
,则
;
③若实数
满足
则
的最大值为
;
④若
为钝角三角形,则
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