如图所示，某货场而将质量为m1=100kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端

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如图所示，某货场而将质量为m₁=100kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物中轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8m．地面上紧靠轨道次排放两个完全相同的木板A、B，长度均为L=2m，质量均为m₂=100kg，木板上表面与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ₁，木板与地面间的动摩擦因数μ=0.2．（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s²）求：
（1）货物到达圆轨道末端时对轨道的压力；
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件；
（3）若μ₁=0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间．

答案

（1）设货物滑到圆轨道末端是的速度为V₀，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得，
   mgR=

1

2

m₁V₀²       ①
设货物在轨道末端所受支持力的大小为F_N，
根据牛顿第二定律得，F_N-m₁g=m₁

V 20

R

     ②
联立以上两式代入数据得，F_N=3000N   ③
根据牛顿第三定律，货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下．
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂ ）g           ④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂ ）g           ⑤
联立④⑤式代入数据得0.4＜μ₁≤0.6       ⑥．
（3）当μ₁=0.5时，由⑥式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动．
设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a₁，
由牛顿第二定律得 μ₁m₁g≤m₁a₁ ⑦
设货物滑到木板A末端是的速度为V₁，由运动学公式得V₁²-V₀²=-2a₁L       ⑧
联立①⑦⑧式代入数据得  V₁=4m/s     ⑨
设在木板A上运动的时间为t，由运动学公式得  V₁=V₀-a₁t       ⑩
联立①⑦⑨⑩式代入数据得  t=0.4s．
答：（1）货物到达圆轨道末端时对轨道的压力是3000N；
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，μ₁应满足的条件是0.4＜μ₁≤0.6；
（3）若μ₁=0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板A上运动的时间是0.4s．