我国已启动“嫦娥工程”，并于2007年10月24日成功发射绕月运行的探月卫星“嫦娥Ⅰ号”．设该卫星可贴近月球表面运动且轨道是圆形的，已知地球半径约是月球半径的4

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我国已启动“嫦娥工程”，并于2007年10月24日成功发射绕月运行的探月卫星“嫦娥Ⅰ号”．设该卫星可贴近月球表面运动且轨道是圆形的，已知地球半径约是月球半径的4倍，地球质量约是月球质量的81倍，地球近地卫星的周期约为84min，地球表面重力加速度g取10m/s²，求：
（1）绕月表面做匀速圆周运动的“嫦娥Ⅰ号”，其运动周期约是多大？
（2）设想宇航员在月球表面上做自由落体实验，某物体从离月球表面20m处自由下落，约经多长时间落地？

答案

设地球质量为M，半径为R，近地卫星的质量为m，周期为T₀，它受地球的万有引力提供向心力，则

GMm

R2

=m(

2π

T0

)2R
设月球质量为M₁，半径为R₁，探月卫星的质量为m₁，周期为T₁，它受月球的万有引力提供向心力，则

GM1m1

R12

=m1(

2π

T1

)2R1

T1

T0

=

M  M1 ?( R1 R  )3

=

81 1 × 1 64

=

9

8

T₁=94.5min
（2）设地球表面重力加速度g，月球表面重力加速度g₁，自由下落高度为h，
根据星球表面的物体受到的重力等于万有引力，在地球和月球上都有
mg=G

Mm

R2

m1g1=G

M1m1

R12

下式比上式得：

g1

g

=

M1

M

?(

R

R1

)2=

1

81

×

16

1

所以g1=

160

81

m/s2
根据自由落体运动的规律
h=

1

2

at12
t1=

2h  g1

=

2×20 160 81

s=4.5s
答：（1）绕月表面做匀速圆周运动的“嫦娥Ⅰ号”，其运动周期约是94.5min．
（2）设想宇航员在月球表面上做自由落体实验，某物体从离月球表面20m处自由下落，约经4.5s落地．