雨点在下落过程中受到的空气阻力与雨点的横截面积S成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即f=kSv2（其中k为比例系数）．雨点接近地面时近似看做匀速直线运动，

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雨点在下落过程中受到的空气阻力与雨点的横截面积S成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即f=kSv²（其中k为比例系数）．雨点接近地面时近似看做匀速直线运动，重力加速度为g．若把雨点看做球形，其半径为r，球的体积为

πr³由，设雨点的密度为ρ，求：
（1）每个雨点最终的运动速度△v=0（用r、g、k表示）；
（2）雨点的速度达到△v=0时，雨点的加速度a为多大？

答案

（1）当f=mg时，雨点达到最终速度v₁，则：
kSv₁²=ρ•

πr3g
又S=πr²
解得，v₁=

4ρrg

（2）当雨点的速度达到v时，根据牛顿第二定律得：
mg-kSv²=ma
又m=ρ•

πr3
解得，雨点的加速度a=g-

3kv2

4ρr

答：
（1）每个雨点最终的运动速度为

4ρrg

；
（2）雨点的速度达到v时，雨点的加速度a为g-

3kv2

4ρr

．

举一反三

如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量分别为m₁和m₂的带电小球A、B，且m₁=2m₂，相距L．当开始释放时，B球刚好处于静止状态，则A球的初始加速度为______；若经过一段时间后，A、B加速度大小之比变为a₁：a₂=3：2，则此时两球之间的距离为______．魔方格

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如图所示，可视为质点的三物块A、B、C放在倾角为θ=30°、长为L=2m的固定斜面上，三物块与斜面间的动摩擦因数均为μ=

，A与B紧靠在一起，C紧靠在固定挡板上，其中A为不带电的绝缘体，B、C所带电荷量分别为q_B=+4.0×10^-5C、q_C=+2.0×10^-5C且保持不变，A、B的质量分别为m_A=0.80kg、m_B=0.64kg．开始时三个物块均能保持静止状态，且此时A、B两物体与斜面间恰无摩擦力作用．如果选定两点电荷在相距无穷远处的电势能为零，则相距为r时，两点电荷具有的电势能可表示为EP=k

q1q2

．为使A在斜面上始终做加速度为a=1.5m/s²的匀加速直线运动，现给A施加一平行于斜面向上的力F，已知经过时间t₀后，力F的大小不再发生变化．当A运动到斜面顶端时，撤去外力F．（静电力常量k=9.0×10⁹N•m²/C²，g=10m/s²）求：
（1）未施加力F时物块B、C间的距离；
（2）t₀时间内A上滑的距离；
（3）t₀时间内库仑力做的功；
（4）在A由静止开始到运动至斜面顶端的过程中，力F对A做的总功．魔方格

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如图所示，正方形线框abcd放在光滑绝缘的水平面上，其边长L=0.5m、质量m=0.5kg、电阻R=0.5Ω，M、N分别为线框ad、bc边的中点．图示两个虚线区域内分别有竖直向下和向上的匀强磁场，磁感应强度均为B=1T，PQ为其分界线．线框从图示位置以速度
V₀=2m/s匀速向右滑动，当MN与PQ重合时，线框的速度V₁=1m/s，此时立刻对线框施加一沿运动方向的水平拉力，使线框匀速运动直至完全进入右侧匀强磁场区域．求：
（1）线框由图示位置运动到MN与PQ重合的过程中磁通量的变化量；
（2）线框运动过程中最大加速度的大小；
（3）在上述运动过程中，线框中产生的焦耳热．魔方格

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跳伞运动员从金茂大厦的八十九层的345米高处飞身跃下，跳落到大厦西侧的草坪上．当降落伞全部打开时，伞和运动员所受的空气阻力大小跟下落速度的平方成正比，即f=kv²，已知比例系数k=20N•s²/m²．运动员和伞的总质量m=72kg，假定运动员起跳速度忽略不计且跳离平台即打开降落伞，g取10m/s²，求：
（1）跳伞员的下落速度达到3m/s时的加速度大小；
（2）跳伞员最后着地速度大小；
（3）跳伞员从开始跳下到即将触地的过程中，损失的机械能．

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如图所示，宽度L=0.4m的足够长金属导轨水平固定在磁感强度B=0.5T范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向上．现用一平行于导轨的牵引力F牵引一根质量m=0.2kg，电阻R=0.2Ω，长也为0.4m的金属棒ab由静止开始沿导轨向右运动．金属棒ab始终与导轨接触良好且垂直，不计导轨电阻．（g=10m/s²）问：
（1）若不计金属棒和金属导轨间的摩擦，金属棒达到稳定运动时速度v₀=1m/s，则此时牵引力F多大？
（2）若金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，牵引力F=0.4N，则金属棒所能达到的稳定速度v₁为多大？
（3）若金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，牵引力的功率恒为P=1.2W，则金属棒所能达到的稳定速度v₂为多大？
（4）若金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，金属棒在运动中达到某一速度v₃时，突然撤去牵引力，从撤去牵引力到棒的速度为零时止，通过金属棒的电量为0.5C，金属棒发热0.8J，则撤去牵引力时棒的速度v₃为多大？魔方格

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