如图所示，光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道，在距离B为x的A点，用水平恒力F（未知）将质量为m的物块（可视为质点），从静止开

题型：不详难度：来源：

如图所示，光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道，在距离B为x的A点，用水平恒力F（未知）将质量为m的物块（可视为质点），从静止开始推到B处，且物块到B处时立即撤去恒力F，物块沿半圆轨道运动到轨道最高点C处后，又正好落回A点．已知重力加速度为g．求：
（1）水平恒力F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系；
（2）x取何值时，完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少，功的最小值为多少；
（3）x取何值时，完成上述运动水平恒力F最小，最小的力为多大．

答案

（1）设物块在C点的速度为v_c，物块从C点运动到A点所用时间为t，物块从半圆弧轨道的最高点C点做平抛运动落到A点．根据平抛运动规律有：
   x=v_ct，2R=

1

2

gt2               
解得：v_c=

x

2

g R

设物块从A到B的运动过程中，水平但力F对物块所做的功为W，对于物块从A到C的运动过程，根据动能定理有：
W-mg•2R=

1

2

m

v

2c

 解得：W=2mgR+

mgx2

8R

（2）物块恰好通过最高点C时，在C点有最小速度v_min，根据牛顿第二定律有：
    mg=m

v 2min

R

             解得：v_min=

gR

        
此时所对应的水平恒力对物体所做的功最少，且有v_c=

x

2

g R

=

gR

解得：x=2R    
所以，当x=2R时恒力F所做的功最少．          
将x=2R 代入第（1）问的结果中，解得最小功W=

5

2

mgR
（3）W=Fx，第（1）问讨论可知：Fx=2mgR+

mgx2

8R

    解得：F=

2mgR

x

+

mgx

8R

因等式右端两项之积为恒量，所以当两项相等时其和有极小值．
由=

2mgR

x

=

mgx

8R

，得x=4R 时水平恒力F最小．                  
解得最小力F_min=mg  
答：（1）水平恒力F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系为W=2mgR+

mgx2

8R

；
    （2）当x=2R时，完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少，功的最小值为

5

2

mgR；
    （3）当x=4R时，完成上述运动水平恒力F最小，最小的力为mg．