如图所示,光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道,在距离B为x的A点,用水平恒力F(未知)将质量为m的物块(可视为质点),从静止开

如图所示,光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道,在距离B为x的A点,用水平恒力F(未知)将质量为m的物块(可视为质点),从静止开

题型:不详难度:来源:
如图所示,光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道,在距离B为x的A点,用水平恒力F(未知)将质量为m的物块(可视为质点),从静止开始推到B处,且物块到B处时立即撤去恒力F,物块沿半圆轨道运动到轨道最高点C处后,又正好落回A点.已知重力加速度为g.求:
(1)水平恒力F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系;
(2)x取何值时,完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少,功的最小值为多少;
(3)x取何值时,完成上述运动水平恒力F最小,最小的力为多大.魔方格
答案
(1)设物块在C点的速度为vc,物块从C点运动到A点所用时间为t,物块从半圆弧轨道的最高点C点做平抛运动落到A点.根据平抛运动规律有:
   x=vct,2R=
1
2
gt2
               
解得:vc=
x
2


g
R

设物块从A到B的运动过程中,水平但力F对物块所做的功为W,对于物块从A到C的运动过程,根据动能定理有:
W-mg•2R=
1
2
m
v2c
 解得:W=2mgR+
mgx2
8R

(2)物块恰好通过最高点C时,在C点有最小速度vmin,根据牛顿第二定律有:
    mg=m
v2min
R
             解得:vmin=


gR
        
此时所对应的水平恒力对物体所做的功最少,且有vc=
x
2


g
R
=


gR

解得:x=2R    
所以,当x=2R时恒力F所做的功最少.          
将x=2R 代入第(1)问的结果中,解得最小功W=
5
2
mgR

(3)W=Fx,第(1)问讨论可知:Fx=2mgR+
mgx2
8R

    解得:F=
2mgR
x
+
mgx
8R

因等式右端两项之积为恒量,所以当两项相等时其和有极小值.
由=
2mgR
x
=
mgx
8R
,得x=4R 时水平恒力F最小.                  
解得最小力Fmin=mg  
答:(1)水平恒力F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系为W=2mgR+
mgx2
8R

    (2)当x=2R时,完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少,功的最小值为
5
2
mgR

    (3)当x=4R时,完成上述运动水平恒力F最小,最小的力为mg.
举一反三
如图所示,甲、乙两小球沿光滑轨道ABCD运动,在轨道的水平段AB上运动时,两小球的速度均为v0=5m/s,相距d=10m,轨道水平段AB和水平段CD的高度差为h=1.2m.设两小球在斜坡段BC运动时未脱离轨道,关于两小球在轨道水平段CD上的运动情况,下列描述中,正确的是(  )
A.两小球在CD段运动时仍相距10m
B.两小球在CD段运动时相距小于10m
C.两小球到达图示位置P点的时间差为2s
D.两小球到达图示位置P点的时间差约为1.4s
魔方格
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在地面上方的真空室内,有一对平行金属板M、N竖直放置,两板间存在恒定的电势差,设两板间的电场可看作是匀强电场,且两板外无电场,将一电量q=4×10-6C的带电小球从两极板上方距两极板上端高度h=0.2m的A点以初动能EK0=8×10-3J水平抛出,球恰好从靠近M板上端处射入板内,然后沿直线运动并碰到N板上的B点,B点与极板上端相距L=0.15m,如图所示.
(1)说明小球从A到B的运动情况;
(2)试求M、N两板间的电势差.魔方格
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如图所示,质量m=1kg的滑块(可看成质点),被压缩的弹簧弹出后在粗糙的水平桌面上滑行一段距离x=0.4m后从桌面抛出,落在水平地面上.落点到桌边的水平距离S=1.2m,桌面距地面的高度h=0.8m.滑块与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,(取g=10m/s2,空气阻力不计)求:
(1)滑块落地时速度的大小
(2)弹簧弹力对滑块所做的功.魔方格
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如图所示,飞机距地面高H=500m,水平飞行速度为v1=100m/s,追击一辆速度为v2=20m/s同向行驶的汽车,欲使投弹击中汽车.(g取10m/s2)求:
(1)飞机发射的炮弹在空中飞行时间;
(2)飞机应在距汽车水平距离多远处投弹?魔方格
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如图所示,光滑水平面与一半径为R处在竖平面内的光滑圆轨道相切,质量为m的小球(可视为质点)以初速度v0向右运动进入圆轨道,在图中虚线位置脱离轨道,重力加速度为g,下述说法正确的是(  )
A.初速度v0应满足


2gR
v0


5gR
B.小球脱离轨道后做平抛运动
C.小球脱离轨道时的速度大小为v=


v20
-2gR
3
D.在脱离轨道之前小球对轨道的压力大小保持不变
魔方格
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