已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
答案
(1)f"(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f"(1)=f"(-1)=0,





3a+2b-3=0
3a-2b-3=0
,解得a=1,b=0.
∴f(x)=x3-3x.(4分)
(2)f"(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
∵曲线方程为y=x3-3x,
∴点A(1,m)不在曲线上.
设切点为M(x0,y0),则点M的坐标满足y0=x03-3x0
∵f"(x0)=3(x02-1),
∴切线的斜率为3(
x20
-1)=
x30
-3x0-m
x0-1

整理得2x03-3x02+m+3=0.(8分)
∵过点A(1,m)可作曲线的三条切线,
∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根.
设g(x0)=2x03-3x02+m+3,
则g"(x0)=6x02-6x0
由g"(x0)=0,得x0=0或x0=1.(12分)
∴函数g(x0)=2x03-3x02+m+3的极值点为x0=0,x0=1.
∴关于x0方程2x03-3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是g(1)g(0)<0,
即(m+3)(m+2)<0,解得-3<m<-2.
故所求的实数a的取值范围是-3<m<-2.
举一反三
已知f(3)=2,f′(3)=-2,则当x趋近于3时,
2x-3f(x)
x-3
趋近于______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax3-3x2+1-
3
a

(I)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围.
题型:湖南难度:| 查看答案
f"(x0)=2,求
lim
△x→0
f(x0-△x)-f(x0)
2△x
的值______.
题型:不详难度:| 查看答案
点P是曲线y=ex上任意一点,则点P到直线y=x的最小距离为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
题型:河南模拟难度:| 查看答案
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